Matematikisto

18 mar

Hodiaŭ, mi memdemandis ion:

Inter ĉiuj ekzistantaj ensurĵetoj el [0;1] al [0;1], ĉu ekzistas unu (au pli), ties longeco estas la plej granda?

Kompreneble, la pli mallonga estas la rekta linio inter (0;0) kaj (1;1). Ties longeco egalas √2. Kaj oni espereble povas trovi ensurĵeton proksimiĝantan al du lateroj de la kvadrato [0;1]×[0;1], kie la longeco egalus 2. Konsideru ekzemple limojn de funkcioj kiel xxp kun p grandega.

Sed ekzistas ensurĵeto pli longa ol 2?

Inspirinte de la ŝtuparo de Cantor, mi provis krei tian ensurĵeton : jen la sepa iteracio de mia kreado.

  1. Mi ligas la punktojn (0;0), (1/3;¼), (2/3;¾) kaj (1;1).
  2. Mi ripetas tion inter (0;0) kaj (1/3;¼), dividante je triopoj kaj kvaronoj.
  3. Kaj tiel plu!

Mi provis kalkuli la longecon de tia ensurĵeto (ĉar ĝi estas ensurĵeto, kiel kolektado de rektoj) kaj amiko de mia helpis min kun Java programo redaktita de li (kun kalkuldaŭroj en milisekundoj):

     | Iter-o | Punktoj  | Longeco    | Ŝanĝo   | Daŭro |
     |    1   |        4 | 1,43425855 | 1,43426 |     0 |
     |    2   |       10 | 1,47081376 | 0,03656 |     0 |
     |    3   |       28 | 1,52647979 | 0,05567 |     0 |
     |    4   |       82 | 1,59016692 | 0,06369 |     0 |
     |    5   |      244 | 1,65316021 | 0,06299 |     0 |
     |    6   |      730 | 1,71101369 | 0,05785 |     0 |
     |    7   |     2188 | 1,76191230 | 0,05090 |     0 |
     |    8   |     6562 | 1,80546112 | 0,04355 |     0 |
     |    9   |    19684 | 1,84202109 | 0,03656 |    15 |
     |   10   |    59050 | 1,87231550 | 0,03029 |    15 |
     |   11   |   177148 | 1,89717964 | 0,02486 |    62 |
     |   12   |   531442 | 1,91743123 | 0,02025 |   187 |
     |   13   |  1594324 | 1,93382688 | 0,01640 |   639 |
     |   14   |  4782970 | 1,94704665 | 0,01322 |  1981 |
     |   15   | 14348908 | 1,95767834 | 0,01063 |  7265 |
     |   16   | 43046722 | 1,96621016 | 0,00853 | 24271 |

Do ŝajnas ke longeco de 2 estas atingebla, sed mi ankoraŭ ne scias ĉu vere aŭ ne. Eble mi pruvus tion estontece?

Advertisements

Komenti

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Ŝanĝi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Ŝanĝi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Ŝanĝi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Ŝanĝi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: